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Calcul integral en ligne

Veuillez saisir la fonction f

intervalle:

[ , ]

Par rapport à:


(Si vous voulez l'expression de la fonction, veuillez laisser l'intervalle vide.)

Résultat

Le résultat s'affichera ci-dessous.

Le résultat et la représentation graphique de la fonction et de son intégrale s'affichera ci-dessous.



Description de l'outil

Cet outil vous permettra de calculer l'intégrale en ligne de n'importe quelle fonction par rapport à n'importe quelle variable. Vous n'avez juste à renseigner les champs ci-dessus et le calculateur vous renverra le résultat.

Des exemples

Cliquez sur la fonction pour calculer son intégrale. $$\\cos x\sin x,\quad pour\quad -1 < x < 2$$

Des techniques pour calculer une intégrale


Intégration par parties

Il arrive que l’on ait à intégrer un produit de fonctions. Le produit de primitives n’est pas une primitive du produit. Plus précisément, pour deux fonctions u et v dérivables, on a : $ (uv)'=u'v+uv'$ On en déduit la formule d’intégration par parties : Soit u et v deux fonctions de classe C1 sur [a, b]. On a : $${\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,\mathrm {d} x=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,\mathrm {d} x}$$
Exemple
Effectuons le calcul de : $${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{3}}x\cos x\,\mathrm {d} x}$$ Pour cela, posons u(x) = x, de telle sorte que u' = 1, et v' = cos, . Il vient :$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}x\cos x\,\mathrm {d} x&=\left[u(x)v(x)\right]_{0}^ {\frac {\pi }{3}}-\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}u'(x)v(x)\,\mathrm {d} x\\&=\left[x\sin x\right]_{0}^{\frac {\pi }{3}}-\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\sin(x)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {\pi {\sqrt {3}}}{6}}+\left[\cos x\right]_{0}^{\frac {\pi }{3}}\\&={\frac {\pi {\sqrt {3}}} {6}}-{\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}$$


Changement de variable

Soit f une fonction continue . Soit aussi u une fonction de classe C1 (c'est-à-dire dérivable et dont la dérivée est continue) sur l’intervalle [a, b] dont l'image par u est contenue dans le domaine de définition de f
On a: $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(u(t))u '(t)~\mathrm {d} t=\int _{u(a)}^{u(b)}f(x)~\mathrm {d} x}$$

Tableau de dérivées des fonctions usuelles

Primitive Fonction
$e^{ax}$ $a\times e^{ax}$
$\ln(x)$ $\frac{1}{x}$
$x^{a}$ $a \times x^{a-1}$
$\sqrt{x}$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$\cos(x)$ $-\sin(x)$
$\sin(x)$ $\cos(x)$
$\tan(x)$ $1+\tan(x)^{2}$
$\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}$ $-\cot(x)\times\csc(x)$
$\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$ $-\tan(x)\times\sec(x)$
$\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}$ $-\frac{1}{\sin(x)^{2}}$
$\sinh(x)$ $\cosh(x)$
$\cosh(x)$ $\sinh(x)$
$\tanh(x)$ $\frac{1}{\cosh(x)^{2}}$
$\coth(x)$ $\frac{1}{\sinh(x)^{2}}$
$\tan(x)$ $1+\tan(x)^{2}$
$\arcsin(x)$ $\frac{1}{\sqrt{-x^{2}+1}}$
$\arccos(x)$ $-\frac{1}{\sqrt{-x^{2}+1}}$
$\arctan(x)$ $\frac{1}{x^{2}+1}$

Opérations générales


Fonction Dérivée
$f+g$ $f'+g'$
$f \times g$ $f'\times g + f\times g' $
$\frac{f}{g}$ $\frac{f'\times g-f\times g'}{g^{2}}$
$g o f$ $f' \times g' o f$
$(g \times f)^{n}$ $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}\times g^{(n-k)}$
$(f^{-1})$ $\frac{1}{f'of^{-1}}$
$\frac{1}{u}$ $-\frac{u'}{u^{2}}$
$u^{a}$ $a\times u' \times u^{a-1}$
$\sqrt{u}$ $ \frac{u'}{2\sqrt{u}}$
$e^{u}$ $u'\times e^{u}$
$\ln(u)$ $\frac{u'}{u}$
$\sin(au+b)$ $u'\times\cos(au+b) $

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