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Calculateur de séries de Fourier en ligne

Ce calculateur vous permettra de calculer la décomposition d'une fonction en séries de Fourier en ligne jusqu'à l'ordre 4 . Vous avez juste à renseigner la fonction voulue, l'intervalle de décomposition et l'ordre de la décomposition en séries de Fourier. Le décomposition ainsi que sa représentation graphique jusqu'a l'ordre 4 seront affichés ci-dessous.


Veuillez saisir la fonction f(x)


ordre:


de:


à:


Résultat


Représentation graphique de la fonction demandée et de sa décomposition


Cliquez sur l'ordre voulue pour l'afficher sur le graph

Des exemples

Cliquez sur la fonction pour calculer sa décomposition en séries de Fourier. $$x,\quad ordre\quad 4\quad sur\quad[-\pi,\pi] $$
$$x^3,\quad ordre\quad 4\quad sur\quad[-\pi,\pi]$$

Sur la décomposition en séries de Fourier


En mathématiques,on appelle série de Fourier tout expression qui s'écrit sous la forme: $$ A_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} (A_n\cos(nx) + B_n\sin(nx))$$ Parfois, on parle aussi des polynomes de Fourier ou polynomes trigonométriques qui s'écrivent sous la forme: $$ F_n(x) = a_0 + \Big(a_1\cos(x) +b_1\sin(x)\Big)+ \cdots + \Big(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\Big)$$ ce qui est équivalent à $$ F_n(x) = a_0 + \sum_{k= 1}^{k=n} \Big(a_k\cos(kx) + b_k\sin(kx)\Big)$$ où ai tel que $i∈\{1,\cdots,n\}$sont les coefficients de Fn(x). Tout les polynomes de Fourier sont $2\pi-$ périodiques.



Exemple


Supposons qu'on veut trouver la décomposition en séries de Fourier de $$f(x) = x, \;\;\; -\pi \leq x \leq \pi$$ Evidemment, cette fonction est impaire.Ce qui veut dire que tout les an sont nuls. Il nous reste donc à chercher les coéfficients bn. $$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx)dx =\frac{1}{\pi}\left[\frac{x\cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2}\right]^{\pi}_{-\pi}$$ Ce qui nous donne : $$b_n = -\frac{2}{n}\cos(n\pi) = \frac{2}{n}(-1)^{n+1}$$ On retrouvera alors finalement : $$ f(x) \sim 2\left(\sin(x) - \frac{\sin(2x)}{2} + \frac{\sin(3x)}{3} ....\right)$$ Pour simuler cette décomposition: $x,\quad ordre\quad 4\quad sur\quad[-\pi,\pi]$

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